圆

本文講述的是幾何圖形。關於貨幣單位，詳見「銀圓」。

日食時看到的情形，可以清晰看到一個圓形。圓在大自然中隨處可見。

圆是一種几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规来画圆。

[编辑] 数学

[编辑] 定義

[编辑] 墨經的記載

早在戰國時代的中國，墨子已經為圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思就是：圓就是一個由中心到周界各點有相同長度的圖形。

[编辑] 歐幾里德幾何

在《幾何原本》中，圆是由一條線構成的平面圖形，使得平面上有一個點，這點到該圖形上任一点所連之直線段長度相等。 （幾何原本中對圓的定義）：

[编辑] 座標系

• 解析几何或直角坐标系：(x − x_m)² + (y − y_m)² = a²，其中a是半径，(x_m,y_m)是圆心坐标。
• 参数方程：x = x_m + acosθ，y = y_m + asinθ
• 極方程：r = a

[编辑] 概念和特性

圆的中心点是圆的圆心（通常用O表示）。从圆心到圆上任何一点的距离被称为半径（通常用r,radius表示）。两倍的半径被称为直径（通常用d,diameter表示）。所有离圆心距离小于或等于半径的点组成一个圆面：

圆的一周的长度被称为圆周(L)。圆周与半径的关系是：

L = 2πr

其中π是圆周率。

圆面的面积与半径的关系是：

S = πr²

圆周的一部分被称为圆弧。圆周上任何两点相连的直线被称为弦。最长的弦會通过圆心，其长度等于直径。

假如一条直线与圆相交僅有一个交点，这条直线是这个圆的切线。这个交点是切点。过切點和圓心的直線和切線垂直。

假如一条直线与圆相交有两个交点的话，这条直线是这个圆的割线。

由圓周上某兩點連往圓心，組成的角度叫做圓心角。圓周上任意三點組成的角度叫圓周角。圓周上有三點A、B、C，圓心為M，那麼：

角AMB=2×角ACB　　圓心角=2×圓周角

只要圓周角其中兩點保持不變，圓周角不變，即是說角ACB=角ADB=角AEB……其中D、E都在圓周上。

[编辑] 一般化

在非欧几何中（比如在球面几何中）也有相应的圆的定义。

圆可以看作是一种特殊的椭圆，即焦点重合，离心率等于0时的情况。参见椭圆。

三維的圓是球體。

在測度空間中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的集合，不過隨著測度的不同，定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓，實際上的形狀（在一般的觀點中）會是一個正方形。

[编辑] 兩個圓的關係

兩個不同大小的圓之間的可能關係如下： 1,2,3:其中一圓在另一圓內

1. 兩圓不相交，互為同心圓
2. 兩圓不相交
3. 兩圓相交於一點，有1條共同切線
4. 兩圓相交於一點，有3條共同切線
5. 兩圓相交於兩點，有2條共同切線
6. 兩圓不相交，有4條共同切線

[编辑] 相關的立体图形

切面為圓的三維形狀有：

• 球體
• 扁球體
• 圓錐體
• 圓柱體
• 圆台

[编辑] 關於圓的定理

• 笛卡爾定理
• 泰勒斯定理
• 九點圓
• 托勒密定理
• 帕斯卡定理

[编辑] 圓和其他平面形狀（特別是三角形）

• 外接圓
• 內接圓
• 旁切圓

當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形最大（參見等周定理）。

[编辑] 圓的問題

• 化圓為方是指用尺規作圖的方法將畫出和一個已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。
• 塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。

[编辑] 人文

在文藝復興時期，列奥纳多·达·芬奇曾將一個人畫在圓內。

[编辑] 字源

「圓」字亦作「圜」、「員」，是形聲字。《正字通》認為「圓」本來應該是「丸」，因讀音相近而有了圓形的意思。

[编辑] 哲學意義

圓形被認為完美、完整的圖形。古希臘人因「圓形是最完美的圖形」這個概念，引伸了不少思想——畢達哥拉斯認為地球是圓的；柏拉圖認為正圓是行星的軌道。古代中國人亦認為「天圓地方」，天是圓的。

圓形（圓）和正方形（方）經常被視為對立的概念。

縱使如此，古中國人亦認為圓是封閉的概念，因為在一個圓形裡，是沒有門或任何出口的。