內射對象與射影對象

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在同調代數中，內射對象與射影對象是內射模與射影模在阿貝爾範疇中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇 $\mathcal{C}$ 。

若對象 $P$ 使得函子 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P, -)$ 為正合函子，則稱 $P$ 為射影對象。
若對象 $I$ 使得函子 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-, I)$ 為正合函子，則稱 $I$ 為內射對象。

若對每個對象 $X$ 都存在射影對象 $P$ 及滿射 $P \to X$ ，則稱 $\mathcal{C}$ 有充足射影元。若對每個對象 $X$ 都存在內射對象 $I$ 及單射 $X \to I$ ，則稱 $\mathcal{C}$ 有充足內射元。對於有充足射影元（或內射元）的阿貝爾範疇，可以考慮對象的射影分解（或內射分解）。