等冪

在數學裡，等冪有兩種主要的定義。

• 在某二元運算下，等冪元素是指被自己重複運算(或對於函數是為複合)的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個等冪實數為0和1。
• 某一元運算為等冪的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是等冪的。
• 一元運算的定義是二元運算定義的特例(詳情請見下面)。

[编辑] 定義

[编辑] 二元運算

設S為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則S的元素s稱為等冪的(相對於*)當

s * s = s.

特別的是，任一單位元都是等冪的。若S的所有元素都是等冪的話，則其二元運算*被稱做是等冪的。例如，聯集和交集的運算便都是等冪的。

[编辑] 一元運算

設f為一由X映射至X的一元運算，則f為等冪的，當對於所有在X內的x，

f(f(x)) = f(x).

特別的是，恆等函數一定是等冪的，且任一常數函數也都是等冪的。

注意當考慮一由X至X的所有函數所組成的集合S時。在f在一元運算下為等冪的若且唯若在二元運算下，f相對於其複合運算(標記為o)會是等冪的。這可以寫成f o f = f。

[编辑] 一般例子

[编辑] 函數

如上述所說，恆等函數和常數函數總會是等冪的。較不當然的例子有實數或複數引數的絕對值函數，以及實數引數的高斯符號。

將一拓撲空間X內各子集U映射至U閉包的函數在X的冪集上是等冪的。這是閉包運算元的一個例子；所有個閉包運算元都會是等冪函數。

[编辑] 環的等冪元素

定義上，環的等冪元素為一相對於環乘法為等冪的元素。可以定義一於環等冪上的偏序：若e和f為等冪的，當ef = fe = e時，標記為e ≤ f。依其順序，0會是最小等冪元素，而1為最大等冪元素。

若e在環R內為等冪的，則eRe一樣會是個乘法單位元為e的環。

兩個等冪元素e和f被稱為正交的當ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是等冪的，且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。

若e在環R內為等冪的，則f = 1 − e也會是等冪的，且e和f正交。

一在R內的等冪元素e稱為核心的，若對所有在R內的x，ex=xe。在此情形之下，Re會是個乘法單位元為e的環。R的核心等冪元素和R的分解為環的直和有很直接的關接。若R為環R₁、...、R_n的直和，則環R_i的單位元在R內為核心等冪的，相互正交，且其總和為1。相反地，給出R內給相互正交且總和為1的核心等冪元素e₁、...、e_n，則R會是環Re₁、...、Re_n的直和。所有較有趣的是，每一於R內的核心等冪e都會給出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。

任一不等於0和1的等冪元素都是零因子(因為e(1 − e) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種等冪元素。局部環也沒有此種等冪元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的等冪元素只有0。共四元數環內會有一等冪元素組成的懸鏈曲面。

所有元素都等冪的環稱做布爾環。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法逆元。

[编辑] 其他例子

等冪運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是等冪運算。

在線性代數裡，投射是等冪的。亦即，每一將向量投射至一子空間V(不需正交)上的線性算子，都是等冪的。

一等冪半環為其加法(非乘法)為等冪的半環。

[编辑] 另見

• 不動點 (數學)