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平行四邊形恆等式

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2个分类: 平面幾何 | 線性代數

[编辑] 平面幾何

平行四邊形的兩條對角線的平方和，等於它四邊的平方和。

[编辑] 使用勾股定理的證明

設在平行四邊形 $\!ABCD$ 中， $\!AB$ 長 $\!a$ ，過 $\!B$ 作垂直 $\!AB$ 的線交 $\!CD$ 於 $\!H$ ， $\!BH$ 長 $\!h$ （即 $\!AB$ 對應的高）， $\!HC$ 長 $\!g$ 。

$\!AB^2=CD^2=a^2$
$\!BC^2=DA^2=g^2+h^2$
$\!AC^2=(a+g)^2+h^2$
$\!BD^2=(a-g)^2+h^2$

四邊平方和： $\!AB^2+CD^2+BC^2+DA^2=2(a^2+g^2+h^2)$
對角線平方和： $\!AC^2+BD^2=(a+g)^2+h^2+(a-g)^2+h^2=2(a^2+g^2+h^2)$

[编辑] 複數

從複數平面（阿根圖），可以看到它和上節的定理相同：

$2\left(|z|^2+|w|^2\right) = |z+w|^2 + |z-w|^2.$

[编辑] 範數

$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$

[编辑] 證明

$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = \langle x+y, x+y\rangle + \langle x-y, x-y\rangle$

$= \langle x, x \rangle +2 \langle x, y\rangle +\langle y, y\rangle \ +\ \langle x, x\rangle - 2 \langle x, y\rangle + \langle y, y\rangle$

$= 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y\rangle = 2(\|x\|^2+\|y\|^2)$

来自“http://www.chinawiki.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E9%82%8A%E5%BD%A2%E6%81%86%E7%AD%89%E5%BC%8F”

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