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3个分类: 抽象代数 | 集合論基本概念 | 二元運算

A 和 B 的并集

在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集(台湾叫做联集)是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

本文采用数学符号。

[编辑] 基本定义

若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。形式上：

x 是 A ∪B 的元素，当且仅当

x 是 A 的元素，或
x 是 B 的元素。

举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。形式上：

x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C。

[编辑] 代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即 {} ∪A = A，对任意集合 A。可以将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

[编辑] 无限并集

最普遍的概念是：任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合，则 x 是 M 的并集的元素，当且仅当存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。即：

$x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.$

无论集合 M 本身是什么，M 的并集是一个集合，这就是公理集合论中的并集公理。

例如： A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集。同时，若 M 是空集， M 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：集合论科学家简单地写

$\bigcup \mathbf{M}$ ，

而大多数人会这样写

$\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A$ 。

后一种写法可以推广为

$\bigcup_{i\in I} A_{i}$ ，

表示集合 $\{A_i \ : \ i \in I\} \$ 的并集。这里 I 是一个集合，A_i 是一个 i 属于 I 的集合。在索引集 I 是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似：

$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$ 。

同样，也可以写作 "A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ···". （这是一个可数的集合的并集的例子，在数学分析中非常普遍；参见σ-代数）。最后，要注意的是，当符号 "∪" 放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律，即

$\bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}$ 。

结合无限并集和无限交集的概念，可得

$\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).$

[编辑] 参考

来自“http://www.chinawiki.org/wiki/%E5%B9%B6%E9%9B%86”

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