泡利方程

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3个分类: 物理小作品 | 量子力学 | 来自中文维基百科

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量子物理
$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$
量子力學
介紹數學形式
基礎概念
量子脫散 · 干涉現象不確定原理 · 泡利不相容原理变换理論埃倫費斯特定理 · 量子測量
實驗
雙狹縫實驗戴維森-革瑪實驗斯特恩-盖拉赫实验愛波羅(EPR)悖論波普爾實驗薛定谔的貓
方程
薛定谔方程泡利方程克萊因-高登方程狄拉克方程
進階理論
量子場論量子電動力學量子色動力學量子引力費曼圖
量子力學詮釋
哥本哈根詮釋 · 量子邏輯隱變數 · 交易詮釋多世界詮釋 · 系綜詮釋一致性歷史 · 關係性量子力學意識導致波函數塌縮 Orchestrated objective reduction
科學家
普朗克　玻尔　薛定谔海森堡　泡利　德布羅伊狄拉克　玻姆　玻恩愛因斯坦　馮·紐曼　費曼埃弗里特　埃倫費斯特其他
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泡利方程是描述自旋-1/2粒子隨著時間演化的薛定谔方程，自旋-1/2粒子例如電子。其為狄拉克方程在非相對論性極限下的特例，可用在粒子慢到相對論效應可以忽略的場合。

泡利方程是由沃爾夫岡·泡利所建構。

[编辑] 細節

時間相依的線性泡利方程：

$(\vec{\sigma}\cdot \vec{p} - c)|\psi\rangle=0$

其中

$\vec{p}$ 為動量，

c為光速，

$\vec{\sigma}$ 為泡利矩陣，

$|\psi\rangle := \begin{pmatrix} |\psi_+\rangle \\ |\psi_-\rangle \end{pmatrix}$ 為泡利旋量。

兩個旋量分量都滿足薛定谔方程(Schrödinger equation)。這表示系統是有額外但簡併的的自由度。

若有外加的電磁場，完整泡利方程寫為：

$\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec pq \cdot \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlach term}$ }-

其中

φ

為标量電場勢，

A

為矢量勢，

$\vec \varphi_\pm$ 為泡利旋量，以狄拉克標記可表示為 $|\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\ |\varphi_-\rangle \end{pmatrix}$ ，

$\vec{\hat \sigma}$ 為泡利矩陣

$\vec B$ 為外加磁場

$\hat 1$ 為二維單位矩陣

有了斯特恩-革拉赫項(Stern Gerlach term)，則可能可以理解帶有一個價電子的原子何以得到得到自旋取向，例如流過不均勻磁場的銀原子。

相似地，比如在異常季曼效應(Zeeman effect)，這一項造成磁場中的譜線（對應到能階）分裂。

[编辑] 推導泡利方程

自狄拉克方程開始，設定弱的電磁場相互作用：

$i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)$

其中 $\vec \pi = \vec p - q \vec A$

利用到如下近似：

透過如下前提(ansatz)對方程做簡化

$\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array} \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)$