庞加莱猜想

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贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

庞加莱猜想是法国数学家龐加萊提出的一个猜想，是克莱数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明。他也因此在同年被授予菲尔兹奖。

[编辑] 基本描述

在1904年發表的一組論文中，龐加萊提出以下猜想：

任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。

上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓扑等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

該猜想是一個屬於代數拓撲學领域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的証明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響。

[编辑] 证明历史

[编辑] 20世纪

这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为Whitehead流形。

1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括Bing, Haken, Moise和Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名。但是，证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美國數學家M.Freedman證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。

1982年，理查德·汉密尔顿引入了“里奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷爾曼的证明所使用。

[编辑] 21世纪

Clay Institute2005年終報告，封面有 Ricci 流方程及幾何化示意圖

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。据报道^[1]，2006年 6月3日，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平第一个給出了龐加萊猜想的完全證明^[2]。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

[编辑] 《纽约客》专文及相关争议

2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并“描画了一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。”^[3]。此文发表后，引发了很大争议。包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价，丘成桐也表示可能采取法律行动。

一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文^[2]中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果^[4]几乎完全相同。据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。