投影

变换 P 是在线 m 上的正交投影。

在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间到自身的线性变换 P，使得 P² = P。投影映射整个向量空间到一个子空间并保留在那个子空间中的点不改变。^[1]

尽管抽象，投影的这个定义形式化和一般化了平行投影的概念。你还可以考虑在几何物体上的投影的效果，通过检查在这个物体上的点的投影的效果。

[编辑] 简单例子

例如，映射在三维空间中的点 (x, y, z) 到点 (x, y, 0) 的函数是在 x-y 平面上的投影。这个函数被表示为矩阵

实际上，这个矩阵在任意向量上的动作是

而

所以 P = P²，证明 P 的确是投影。

[编辑] 分类

假定底层的向量空间是有限维的(因此问题如投影的连续性不需要考虑)。

变换 T 是沿着 k 到 m 上的投影。T 的值域是 m 而零空间是 k。

如上所述，投影 P 是幂等的线性变换，意味着 P² = P。因此它有极小多项式 X² − X = X(X − 1)，它因式分解到相异的根，因此 P 是可对角化矩阵。

可以更直接的看出来: 像与核是对应于 1 和 0 的特征空间，并给出这个空间的一个直和分解。

更明确的说: 首先，有这个投影充当单位元的定义域的一个子空间 U；在这个子空间中所有向量 x 都有 Px = x。这个子空间精确的是这个投影的值域。

还有一个总是被投影置零的定义域的补子空间 V，在这个子空间内的所有向量 x 都有 Px = 0。这个子空间是这个投影的零空间。

投影被称为沿着 V 到 U 上。子空间 U 和 V 唯一的确定了这个投影。

子空间 U 是 V 互补的，就是底层的向量空间是直和 U ⊕ V。这意味着在定义域中的任何向量 x 可以唯一的写为 x = u + v，有 u 在 U 中与 v 在 V 中。在这个分解中向量 u 给出自 u = Px，这里的 P 是沿着 V 到 U 上的投影。向量 v 给出自 v = (I − P) x。算子 I − P 是沿着 U 到 V 上的投影；它叫做补投影。^[2] 向量空间的分解成直和一般不是唯一的。因此，给定一个子空间 V，一般的说有很多其值域(或核)是 V 的投影。

只有 0 和 1 可以是投影的特征值。对应于特征值 0 的特征空间是零空间 V，对应于 1 的特征空间是值域 U。

[编辑] 正交投影

如果底层的向量空间被赋予了内积，正交和它的辅助概念(比如线性算子的自伴随性)就变为可用了。正交投影是值域 U 和零空间 V 是正交子空间的投影。投影是正交的，当且仅当它是自伴随的，这意味着在实数向量空间的上下文中，关联的矩阵相对于正交基是对称的: P = P^T (对于复数情况，这个矩阵是埃尔米特矩阵: P = P^*)。实际上，如果 x 是在这个投影的定义域内的向量，则 Px ∈ U 且 x − Px ∈ V，而且

所以 Px 和 x − Px 对于所有 x 是正交的，当且仅当 P − P² = 0。^[3]

最简单的情况是这个投影是到线上的正交投影。如果 u 是在这个线上的单位向量，则投影给出为

这个算子保留 u 不变，并且它消灭所有正交于 u 的向量，证明它的确是到包含 u 的线上的正交投影。^[4]

这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设 u₁, …, u_k 是子空间 U 的正交基，并设 A 指示 n×k 矩阵，它的列是 u₁, …, u_k。接着投影给出自

^[5]

矩阵 A^T 是在 U 的正交补变为零的偏等距同构，而 A 是把 U 嵌入底层向量空间的等距同构。P_A 的值域因此是 A 的“终空间”(final space)。A^TA 是在 U 上的恒等算子也是明显的。

正交条件也可以去除。如果 u₁, …, u_k 是(不必须正交)基，而 A 是有这些向量作为列的矩阵，则投影是

。^[6]

矩阵 A^T 仍把 U 嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 (A^TA)⁻¹ 是恢复规范的“规范化因子”。例如，秩-1 算子 uu^T 不是投影，如果 ||u|| ≠ 1。在除以 u^Tu = ||u||² 之后，我们得获得了到 u 所生成的子空间的投影 u(u^Tu)⁻¹u^T。

所有这些公式对于复数内积空间也成立，假如用共轭转置替代转置。

[编辑] 斜投影

术语斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影)，尽管不如正交投影常用。

斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 u₁, …, u_k 形成了投影的值域的基，并把这些向量组合到 n×k 矩阵 A 中。值域和零空间是互补空间，所以零空间有维度 n − k。它推出零空间的正交补有维度 k。设 v₁, …, v_k 形成这个投影的零空间的正交补的基，并把这些向量组合到矩阵 B 中。则投影定义为

。

这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。^[7]

[编辑] 在赋范向量空间上的投影

当底层向量空间 X 是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在 X 是巴拿赫空间。

上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 X 的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果 X 是直和 X = U ⊕ V，则定义自 P(u + v) = u 的算子仍是有值域 U 和核 V 的投影。明显的也 P² = P。反过来说，如果 P 是在 X 上的投影，就是说 P² = P，则很容易验证 (I − P)² = (I − P)。换句话说，(I − P) 也是投影。关系 I = P + (I − P) 蕴涵了 X 是直和 Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。

但是相对于有限维情况，投影一般不必须是连续的。如果 X 的子空间 U 在规范拓扑下不闭合，则到 U 上的投影是不连续的。换句话说，连续投影 P 的值域一定是闭合子空间。进一步的，连续投影(事实上，一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影 P 把 X 分解成两个互补的闭合子空间: X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。

反命题在有额外假定条件下也成立。假设 U 是 X 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间 V 使得 X = U ⊕ V，则有值域 U 和核 V 的投影 P 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 x_n → x 而 Px_n → y。需要证明 Px = y。因为 U 是闭合的且 {Px_n} ⊂ U, y 位于 U 中，就是说 Py = y。还有 x_n − Px_n = (I − P)x_n → x − y。因为 V 是闭合的且 {(I − P)x_n} ⊂ V，我们有了 x − y ∈ V，就是说 P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0，这证明了这个断言。

上述论证利用 U 和 V 都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间 U, 不需要存在一个互补的闭合子空间 V，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，一维子空间总是有闭合的补子空间。这是 Hahn–Banach定理的直接推论。设 U 是 u 的线性扩张。通过 Hahn–Banach 定理，存在一个有界线性泛函 φ，使得 φ(u) = 1。算子 P(x) = φ(x)u 满足 P² = P，就是说它是个投影。φ 的有界性蕴涵了 P 的连续性，因此 Ker(P) = Ran(I − P) 是 U 的闭合补子空间。

[编辑] 参见

• 中心矩阵，它是投影矩阵的例子。
• 正交化
• 不变子空间
• 透视投影

[编辑] 注解

1. ↑ Meyer, pp 386+387
2. ↑ Meyer, pp 383–388
3. ↑ Meyer, p. 433
4. ↑ Meyer, p. 431
5. ↑ Meyer, equation (5.13.4)
6. ↑ Meyer, equation (5.13.3)
7. ↑ Meyer, equation (7.10.39)

[编辑] 引用

• N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.