抛物线

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2个分类: 几何术语 | 圆锥曲线

抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

抛物线是一種圓錐曲線。

[编辑] 术语

准线、焦点：见上。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
- 焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
  - 正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
- 主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。

y=x²的圖象

[编辑] 在解析几何中

抛物线的标准方程有四个：

$y^2=2px \quad \left (p>0 \right)$ （开口向右）；
$y^2=-2px \quad \left (p>0 \right)$ （开口向左）；
$x^2=2py \quad \left (p>0 \right)$ （开口向上）；
$x^2=-2py \quad \left (p>0 \right)$ （开口向下）；

在抛物线 $y^2=2px \quad \left (p>0 \right)$ 中，焦点是 $F \left (\frac{p}{2},0 \right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $x=-\frac{p}{2}$ ；
在抛物线 $y^2=-2px \quad \left (p>0 \right)$ 中，焦点是 $F \left (-\frac{p}{2},0 \right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $x=\frac{p}{2}$ ；
在抛物线 $x^2=2py \quad \left (p>0 \right)$ 中，焦点是 $F \left (0,\frac{p}{2} \right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $y=\frac{p}{2}$ ；
在抛物线 $x^2=-2py \quad \left (p>0 \right)$ 中，焦点是 $F \left (0,-\frac{p}{2} \right)$ ，准线 $l$ 的方程是 $y=-\frac{p}{2}$ ；

[编辑] 抛物线 $y 2 = 2 p x$ 的性质

截距：抛物线在x轴和y轴上的截距都是0，也就是说，抛物线经过坐标原点，这个点是抛物线的顶点。
对称性：抛物线关于x轴对称。
范围：因为 $y=\pm \sqrt{2px} \quad \left(p>0 \right)$ ，所以当x ≥ 0时，y才有实数值。又因为 $x=\frac{y^2}{2p}$ ，所以y可取任何实数值。当x增大时，y的绝对值也随之增大，因此该抛物线在y轴的右侧向上、向下无限伸展。
离心率：抛物线上一点到焦点的距离与这一点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率等于1。

安東尼·高第所設計的米拉公寓的拱

[编辑] 抛物线 $y 2 = 2 p x$ 的切线方程

经过抛物线 $y 2 = 2 p x$ 上一点 $P \left(x_1,y_1 \right)$ 的切线方程是 $y 1 y = p (x + x 1)$ 。例如， $y 2 = 4 x$ 经过点 $\left (1,2 \right)$ 的切线方程是 $2y=4 \cdot \frac{x+1}{2}$ ，即 $x - y + 1 = 0$ 。
已知抛物线 $y 2 = 2 p x$ 的切线的斜率是 $k$ ，那么它的切线方程是 $y=kx+\frac{p}{2k}$ 。