数论

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數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。 ——卡尔·弗里德里希·高斯

數論是纯粹数学的分枝，專門研究整数的性質，產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。很多諸如此類的問題虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。

[编辑] 分支

初等數論: 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互逆律等等。
解析數論: 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論: 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯, 比如類域論(class field theory) 就是此間的顛峰之作.
算術幾何: 研究有理係數多變數方程組的有理數點, 其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係, 有名的費瑪猜想, Mordell 猜想, Weil 猜想, 和七個一百萬問題中的 Birch-Swiner-Dyer 猜想都屬此類
幾何數論: 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為Minkowski 定理。
計算數論: 借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越数论: 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的 Zeta 函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合数论: 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由艾狄胥開創的思路。